題名： 4-manifolds constructed by lens space surgery

［事後記入］丹下基生氏（数理研）との共同研究.　丹下氏本人を含めて ２日間およそ５時間半かけて 細かいことも含めて話をさせていただきました. こういう問題を考えるときの 基本の全て を話せたと思います.

久しぶりに, 黒板を使って, いわば一緒に考えていただきながら 聞いていただくことができて 有意義でした.

題名： レンズ空間手術 から構成する４次元多様体
4-manifolds constructed by lens space surgeries
Talk slide  (pdf file, 318.8KB)

丹下基生氏（数理研）との共同研究です. ３次元球面内の Framed knot は, Dehn 手術とみなせば ３次元 多様体を, 2-ハンドルの接着とみなせば ４次元多様体を表します. このことを利用して, 境界が同じ４次元多様体の組を作り, それらを貼り合わせるとどんな多様体が得られるか,という問題 を考えます. どんな knot に沿う Dehn 手術でレンズ空間が得られるか, の研究を 「レンズ空間手術」と言います. 上の問題で, 素材をレンズ空間手術 にした場合の族について話します.

事後の補足：話は torus knot の lens space surgery に限りました. その場合の「対の族の表」の完全性が証明できました（共同研究者が直前に究明）. しかし, この研究の目標が 双曲結び目の場合の Kirby Calculus の"管理"で あることに変わりはありません.

題名： Four dimensional manifolds constructed by lens space surgeries along torus knots

「異なるトーラス結び目に沿う整数係数デーン手術で 同じレンズ空間が生じる組」 の族を調べ，パラメータ付けを与えた. その組から自然に構成される４次元閉多様体が（エキゾチックではない） 標準的な可微分多様体であることを示した. (丹下基生氏（数理研）との共同研究)

題名： Lens space surgeries along certain 2-component links, and Reidemeister-Turaev torsion

Alexander polynomial of a link restricts the coefficients of lens space surgery along the link. We focus a certain two-component (hyperbolic) link whose one component is the zero-framed unknot, and determine the coefficient for the link to yield a lens space. The link is related to a certain subfamily of lens space surgery, and also to the rational homology ball in 4-dim. topology. (Joint work with T.Kadokami)

題名： Divide knot presentation of Berge's knots of lens space surgery
Talk slide  (pdf file, 464.0KB)

Every knot in Berge's list of lens space surgery (ie, knots yielding a lens space by Dehn surgery) is presented as a divide knot. In generic case, such a knot is presented by a billiard plane curve in "L-shaped" region, and the area of the pool is equal to the surgery coefficient. In this research, Couture- Perron's formula works very helpfully.

題名： Lens space surgeries along certain 2-component links and Reidemeister-Turaev torsion
門上晃久 氏（大連理工大学）との共同研究

ある特殊な２成分link族に沿う Dehn surgery が lens space になる条件を, 円分体に値をとる Reidemeister-Turaev torsion で調べた. 予想しなかった例が１つだけ存在することが示された.
この link は J.~Park の有理Blow-down の diagram表示に由来し, 結び目の lens space surgery の ある部分族にも関係がある.

題名： Every Berge’s knot of lens space surgery is a divide knot.

I complete my recent work as the title. Under A'Campo's divide knot theory, some knots are presented by the plane curves.
Typical example: the torus knot T(p,q) is presented by the Billiard curve in the rectangle p \times q.
This presentation helps us to study the construction of the complicated knots. In this talk, the sporadic examples
in the Berge's list are focused. New method is the strongly invertibility of divide knots.

題名： フリードマン原論文に学ぶ ６章, ８章
講演PDF（とその修正版）を集会「資料集のサイト」に提供

通常のハンドル H と Casson Handle CH を比較したい.　Kinky handle の Kirby diagram を描けば想像できる通り, CH は H から部分集合を取り除くことによって得られる.　証明では H から無限個の複雑な部分を取り除いてスカスカにする.　まるでスポンジ.　スポンジを手に持てばつぶしてみたくなる.　つぶす写像 が同相写像で近似できるかどうか.　Bing の shrinking criterion を利用する.　６章と８章は そのための調整であり, 証明というより構成法である...

題名： ４次元多様体を表す Kirby Diagram：基礎から応用

４次元多様体を、ハンドル分解によって具体的に表示したり 構成したりする方法 Kirby Diagram を紹介します. 特に最近は 1-handle に関する考察が進展しています. 意外なところで、例外的デーン手術 と関係が見られるなど、 低次元多様体論の１つの醍醐味となっています.

Kirby Diagram を紹介した［基礎］後、Mazur manifold を拡張した Akbulut-Yasui の「新しいCork」について、
・Mazur manifold の偽物(False) が例外的手術をもつのと同様に、例外的手術をもつ「新しいCork」の偽物がある.
・「新しいCork」で Casson handle工場 を作ると "同じ分岐を繰り返す"（周期的とは言わない）ＣＨが得られるが、こういう手法では得られない ＣＨ もある.
の２点［応用］を加えて話しました.

題名： Dehn surgery along A'Campo's divide knots, Lens spaces and plane curves
講演資料   (pdf file, 1.5MB) uploaded on 16 Mar.

３次元多様体論で、結び目(knot)に沿う切貼り デーン手術 には奇妙な例がありますが、そのいくつかは A'Campo 氏が 特異点論の中で構成した "divide"（平面曲線でknot を表す） 表示を用いることによって、見通しのよい議論ができることが 分かってきました. 講演では最近の進展： 最後まで残っていた族 について話します. 時間が許せば Rational blow down との関わりも話したいと思います.

題名： Lens space surgery along A'Campo's divide knots II

My recent research is "Some knots of exceptional Dehn surgeries are A'Campo's divide knots (coming from the singularity theory). How many and Why?" I will talk about difficulty and trial on Berge's Type8 family of lens space surgery. They are related to Rational homology 4-ball.

題名： Generalized rational blow-down, torus knots, and Euclidean Algorithm

２月の広島集会での講演内容を短く講演.
夏の海外出張で、ハンドル分解の部分は「専門家には知られている」という意見を聞いたので レンズ手術に関わる部分も含めて話した.

題名： Torus knots, generalized rational blow-down, and lens space surgery of Type 7, 8.
講演資料   (pdf file, 817.1KB) revised on 14 Feb.

We describe the rational homology balls, used in Generalized rational blow down defined by J. Park, by Kirby diagram. The link contains a Torus knot component, and related to lens space surgery of Type 7 and 8 (knots in genus 1 fiber surfaces) by the minor formula on 1,2-handles in the diagrams.

Revision of PDF on p.20, p.26 : about Information from the researchers.

題名：平面曲線と３次元多様体の手術

３次元多様体は無数に存在し, 切貼「手術」をすることで 関連し合っています. それは結び目の多様性と関連しています. まれに, 複雑な結び目に沿う手術で簡単な多様体が生じる, という ような "意外な" 手術が見つかりますが, そこに隠れている 規則性が少しづつ, 分かってきました...

題名： Generalized rational blow-down and Euclidean Algorithm.

PARK Jongil 氏の集中講義 に感謝して：
最近, レンズ空間を境界に持つ ベッチ数が小さな４次元多様体 を利用して, エキゾチック多様体対を構成する研究 Generalized rational blow-down が盛んです. それに用いられる Rational homology ball「B_p,q」の簡明な表示を 得ました. １成分が torus knot になりますが, パラメータは p,q について変な依存 の仕方をします. そこに ユークリッド互除法を使う方法です.

題名： Kirby Calc. 入門　 　講演で用いた pdf が 集会の page に

久しぶりに, Kirby Calc. の入門 説明をします. 他の方の講演の準備に相当するので, 手広く説明をすると思います.

題名： 多様体の中で具体的にキャッソンハンドルを"作る" 　（Z.Bizaca と R.Gompf の結果紹介）

Z.Bizaca と R.Gompf は, (ほぼ)楕円曲面の中に実際にキャッソンハンドルを構成することにより 最も簡単な(たった１つの)キャッソンハンドルがエキゾチックであることを証明した. この論文に集められた 知識・"技術" は４次元多様体の理論の面白さ 凄さ を表していると思う. この論文を私なりに解説し 同じ勉強会の講演者陣と腕を競ってみたいと思います.

題名： Alexander polynomials of knots represented by L-shaped plane curves （門上晃久氏との共同研究）

Ｌ型 divide knot に関して, アレキサンダー多項式を求める組合せ的なアルゴリズムを紹介した. その方法で行った多くのコンピュータ計算実験が最近の門上氏との共同研究の背景にあった. Ｌ型の底辺の長さに関する予想を１つ述べた.

題名： Ｌ型平面曲線, Blow-down と Dehn surgery I, II

これまでの研究の解説に加えて, 「L-shaped curve の"成長" を Blow-down の sequence と対応させて Framed link で表す」研究 について報告.

題名： Berge's lens surgeries as A'Campo's divide knots

レンズ空間手術 と L-型曲線に関する 最近の研究 について, 簡単に報告

題名： Lens surgery, blow-ups and 4-manifolds

講演内容：
Some lens surgery (knots that yield lens spaces by Dehn surgery) are A'Campo's divide knots, and are represented by "L-shaped" plane curve, where an L-shaped plane curve is the curve obtained as the intersection of an L-shaped region (union of two rectangles sharing a corner) and the 45-degree lattice in the plane. A'Campo's theory comes from the singularity of complex curves. Thus such study is in good relation with 4-dimensional topology, for example, blowing-ups. The volume of the L-shaped region is equal to or near the coefficient of the lens surgery. I will also talk about a trial to get more information from the L-shapes on the lens surgeries. （ここまで 松田先生 にお送りしたアブストラクトと同文です.）

講演では, L-型の領域が, 正方形の接着で大きくなっていく手順が, Blow-down と対応していることをP(-2,3,7)の族の例で指摘しました.

最近の研究について, 数時間 話をさせていただきました.

題名： Lens surgery along L-shaped divide knots

題名： Lens space surgeries and plane curves

講演内容：
J. Berge defined the family "doubly-primitive" knots that yield lens spaces by Dehn surgery, and classifying as several families and listed up them. I will point out that most of such knots are "divide knots" defined by N. A'Campo, and are presented by L-shaped plane curves. By such presentation, we can study the structure of Berge 's knot family more. In this talk, I will talk about subfamilies (Berge's type I to VI) of knots in a solid torus yielding solid torus by Dehn surgery. （ここまで 谷山先生・新庄先生 にお送りしたアブストラクトと同文です.）

題名： Berge's typeV lens surgery as A'Campo's divide knots

講演内容：
Some lens surgery (knots yielding lens spaces by Dehn surgery) are A'Campo's divide knots. For example, under A'Campo's theory, the pretzel knot (-2,3,7) is represent by plane curves of two types. The curves are obtained by cutting out from the lattice whose "area"s are 18 and 19, which are the surgery coefficients of the lens surgery of the knot. J.Berge's typeV family of lens surgery contains the 18-surgery. I will talk that knots in J.Berge's typeV lens surgery (with positive parameters) are divide knots. （ここまで主催者にお送りしたアブストラクトと同文です.）

題名： Ｌ字型 Divide knots に沿う Dehn surgery と Alexander polynomial

講演内容：
・Divide knots とは, N.A'Campo 氏によって定義された knot の構成法で, 代数曲線の特異点論から由来しています.
・双曲的な結び目に沿うデーン手術で双曲多様体でない多様体が生じる 現象を「例外的手術」といいます．
調べてみると，よく知られた「例外的手術」のいくつかが Divide knots から生じていることがわかります．扱う結び目は限定されますが，その代わりに "きれいな" 公式・対応が見られます． 基礎的なことから始めて，最近分かったことまで話します． （ここまで 大山先生にお送りしたアブストラクトと同文です.）

講演依頼からの２週間で研究を進めて, Berge の typeV のknot 族について講演しました.

題名： A deformation of the Alexander polynomials of knots yielding lens spaces
門上晃久 氏（大阪市立大学）との共同研究

Abstract：
S³（または 整数係数ホモロジー３球面 Σ）の中の結び目 K が Dehn surgery (係数２以上) で lens space を生成するための, Alexander polynomial Δ_K(t) に関するある必要条件を発見した. P:= Pretzel(-2,3,7) は 19-surgery が -L(19,7) です. この例でいうと
Δ_P(t)・Δ_P(t⁷)・ Δ_P(t¹¹) = 1 mod (t¹⁹-1).

題名：L-shaped divide knots, Kirby-Melvin's grapes and Alexander polynomials

Abstract：
We study "L-shaped" divide knots from the view point of exceptional Dehn surgery and show a formula to get the Alexander polynomials of L-shaped divide knots from the divides (=plane curves). The method is related to Kirby-Melvin's grapes, introduced in 4-dimensional topology, as a framed link description of simple complex singulariy and singular fibers of torus fibration. One application is a joint work with Teruhisa Kadokami. （ここまで 鳥巣先生にお送りしたアブストラクトと同文です.）

私の興味の中心は, L型 divide knot の特殊性（L型に限っての公式など）にあり, それを 例外手術に関連させていきたいのです.
講演では強調し損なったようです.

題名：Some graph surgeries along A'Campo's divide knots

１１月９日の講演の後，講演依頼を受けました． 特異点論からどんなご意見が伺えるか，とても楽しみにしています．
勉強不足で私がよく知らなかった 特異点解消, Alexander poly., Monodromy が１つになった世界があることを教わりました．
私の中では，歴史に残る "アウェイ試合" です（実 4-dim. でも knot theory でもない，という意味で）.

題名：Some Seifert surgeries along A'Campo's divide knots and 4-manifolds

講演内容：
A family of A'Campo's divide knots yielding "at most" graph manifolds by Dehn surgery is constructed. The proof is by a sequence of Kirby calculus and related to the resolution of a singularity of a complex curve. This is an extension of the author's recent work on J.~Berge's family of lens surgery. The motivation is a question by M. Ue in topology on 4-manifolds （ここまで 大槻・清野 両先生にお送りしたアブストラクトと同文です.）

題名： Some Dehn surgeries along A'Campo's divide knots

講演内容： 　A'Campo によって定義された divide knot の理論は，平面曲線に対して３次元球面内の knot や link を対応させますが，これは代数曲線の特異点論から生まれています．
　平面曲線が平面内のナナメ格子から切り取った形をしている場合について，対応する knot の Dehn surgery を考えていきます． torus knot や その（特殊な）cable の finite surgery, J. Berge や Fintushel-Stern の lens surgery, (-2,3,2l+5) 型 pretzel の exceptional surgery などを含んでいます． それらについての基礎から最近の進展までをお話します． （ここまで 作間先生にお送りしたアブストラクトと同文です.）

作間先生のグループで Finite surgery の dual knot を研究している方がいると聞いて, 情報交換をさせていただきたいと思いました.

題名： 曲線の "面積" と Finite Dehn surgry の係数

講演内容：次に述べる研究課題に関する進展を報告する.
N. A'Campo 氏によって定義された Divide knot 理論は, 平面曲線に対して結び目を与える. いくつかの Divide knot に沿う Finite Dehn surgry について, その結び目を与える曲線が格子から切り取った形状で， その面積が surgery 係数に近いことを指摘する.

題名：Reidemeister torsion and lens surgeries on (-2, m, n)-pretzel knots
門上晃久氏との共同研究

講演内容：
Pretzel knot P(-2,3,7) は hyperbolic knot ですが, 19-surgery が レンズ空間です. 一般に P(-2,3,n) は surgery 係数 (2n+5) とその前後で それに近い現象があります（exceptional surgery）. 山形に滞在中のある晩，次のことに気がつきました：　P(-2,3,7) のアレキサンダー 多項式は Z[t]/＜t¹⁹-1＞ の中では可逆で...
そのことを，Reidemeister Torsion と関係つけた実験についてお話します．

題名：Dehn surgery along A' Campo's divide knots

講演内容：
A'Campo's divide knot theory, which give links from plane curves, is related to Singularity theory. We study Dehn surgery along such divide knots in case that the plane curves are obtained cut out from the Lattice in the plane. In such cases, the "area of the curve" in the plane is related to finite surgery...

題名： 格子から切り取った平面曲線 と Dehn 手術の係数

講演内容：
札幌の研究集会で時間がなくて話せなかった（１）Divide knot と Grape との関連, および
札幌の研究集会以降の発展（２）例外型特異点 D_p,q,r と Pretzel links の関連

題名： Plane curves as A'Campo's divides and Dehn surgery.

講演内容：
We are concerned with curves obtained by cutting out from the lattice in a plane. We regard them as knots in S^3 by A'Campo's divide theory and study Dehn sugeries along the knots.

題名： レンズ空間を生み出すある結び目族 と 環状のFramed Link

講演内容：
J. Berge 氏は 1990 年頃に 結び目の Dehn surgery でレンズ空間を生み出す 例と構造を考察しました. その中のある族について, Framed Link の視点 から考察すると，ユークリッド互除法を通して「環状のFramed Link」が現れます. その環の１か所を切ることでレンズ空間が, 別のか所を切ることで トーラス結び目が現れます．最近の進展についてもお話したいと 思います．（ここまで 塚本氏にお送りしたアブストラクトと同文です.）

題名： レンズ空間を生み出すある結び目族と平面曲線

講演内容：
J. Berge 氏は 1990 年頃に 結び目の Dehn surgery で レンズ空間を生み出す 例と構造を考察しました. その中のある族について, 特異点 と Framed Link の視点 から考察すると，連分数，ユークリッド互除法，平面曲線など数学的に広がり のある現象が見えてきます．
（ここまで 下川先生（埼玉大学）にお送りしたアブストラクトと同文です.）

Divide 理論との関連を説明します. （部分的に平澤美可三氏（学習院大学）との共同研究）
「（一部の）有限手術と代数曲線は縁が深いのではないか？」という疑問に ついて, 下川先生 と 福井先生に同時に話を聞いていただけそうな絶好のチャンス.

題名： Trefoil の Seifert 膜に乗る knots とレンズ空間

講演内容：
１月の山形大学での講演内容を時間短縮し, divide との関連 （部分的に平澤美可三氏（学習院大学）との共同研究）を加えて, 研究全体を紹介.

題名： Berge's knots and framed links

講演内容：
J. Berge discovered families of knots $K$ yielding lens space by Dehn surgery. Such lens spaces are described as a framed knot $K$ and also as a chain link with "continued fraction" framing. I show Kirby moves between them and talk on some related topics.

題名： ４次元多様体内の曲面のある変形族 と 分岐被覆

講演内容：
１９９８年に東京大学の 片岡央吾氏 の修士論文において，４次元多様体内の曲面を リボン変形したときの２重分岐被覆の変化が記述されました．その話を聞いて， 私が当時疑問に思っていたこと が解決できました．その後の試みなどを話します．

２次元の結び目が，自明なものからある変形だけをくり返して得られるとき， 分岐被覆は S⁴ のままなのではないか？　そういう関係は他にもないだろうか？

題名： Torefoil の Seifert 膜に乗る knots とレンズ空間

講演内容：
S³ 内で，Trefoil の Seifert 膜（Fiber surface）に乗る knots 【例としては Pretzel (-2,3,7) knot 】は J. Berge 氏により，Dehn 手術 で Lens Space を生みます．そのことを Framed Link の観点からみて， あることに気がつきました．発想は　特異点解消　です．

題名： 球面的３次元多様体から構成した４次元可微分多様体

講演内容：
[上正明氏の問題] 交差形式が負定値の４次元多様体 N と 正定値の４次元多様体 P とが ともに単連結で，共通の球面的３次元多様体を境界にもつとき，P ∪-N は 正定値４次元多様体なので CP^2 の連結和と同相である． では，それらは可微分同相か？

Framed Links を用いて，「有限手術」の知識から，いくつかの例 と結論が得られたので，紹介します．証明はとても幾何的です．